什么原因呢？

无非是血缘亲疏有别。

对三角形来说，它的角也有这样的亲疏内外之分！

直角、平角与周角

义务教育阶段的数学教材是这样定义角的。

定义五:从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。

可以记作∠1、∠2，可以记作∠α、∠β，可以记作∠BAC、∠ABC，在不引起混淆的前提下也可以记作∠A、∠B。

直角就是90°的角。

这个问题不宜深究，总之平面几何中的直角都等于90°。

在介绍平角和周角时，又引用的是旋转生成说。

总之平角就是180°的角，周角就是360°的角。

定义六:在同一平面内，如果两个角的和等于90°，我们就称两角互为余角，简称互余。

如果两个角的和等于180°，我们就称两个角互为补角，简称互补。

由此我们得到如下性质:

性质四:同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等。

这一性质在后期的三角形全等与相似中多有应用。

三角形的外角

我们知道三角形的三内角和等于180°，在引入外角概念后，再结合互补性质，就能够得到三角形的外角定理。

那哪些角是三角形的外角呢？

如图延长BC，得到∠ACD。

定义七:(像∠ACD一样)三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

在延长时，可以延长AC，也可以延长BC，显然∠ACD和∠BCE都是△ABC的外角，而且它们互为对顶角，是相等的。我们把它们当成同一个外角。

另一方面，外角的顶点也可以是点A、点B。

由于∠ACB+∠ACD=180°

∠ACB+(∠A+∠B)=180°

故∠ACD=∠A+∠B

用文字表示就是，

性质五(三角形外角和定理):三角形的(一个)外角等于与它不相邻的两个内角的和。

以课本上的习题为例:

10.分析:由两直线平行，同旁内角互补，可知:(∠1+45°)+(∠2+45°)=180°

故∠1+∠2=90°(两边同时减去90°)

而三角形内角和是180°，

故∠E=180°-(∠1+∠2)=90°。

11.证明:对△ACE有

∠BAC=∠ACE+∠E

对△BCE有

∠ECD=∠B+∠E

∵CE是∠ACD的平分线

∴∠ACE=∠ECD

∴∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E。

问题都很简单，但证明的要义在于每一步都有理有据。

这里要证∠BAC的分解，容易想到把它当成一个外角。

多边形的外角和

先来看三角形的三个外角之和:

显然三角形的外角和是360°。

对于任意n边形:

容易看到每一个内角与它相邻的外角都是互补的。我们以Aᵢ表示第i个内角，Aᵢ*表示与角Aᵢ相邻的外角。

那么:

(A₁+A₁*)+(A₂+A₂*)+...+(Aₙ+Aₙ*)=n180°

而A₁+A₂+...+Aₙ=(n-2)180°

所以A₁*+A₂*+...+Aₙ*=360°

性质六:任意多边形的外角和为360°。

以课本习题为例:

9.简析如下:

五边形的内角=(5-2)×180°÷5=108°

∠1=(180°-∠E)÷2=36°

类似的，∠3=36°

∴x°=108°-36°-36°=36°。

10.AB∥DE，BC∥EF

简析如下:

六边形内角=(6-2)×180°÷6=120°

∴∠FAD=120°-∠DAB=60°

在四边形AFED中，

∠ADE=360°-120°-120°-60°=60°

即∠ADE=∠DAB

∴AB∥DE。

另一组证明与之类似。

11.第一问可以在△BGC中证明。

对第二问，

在△ABC中，

∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴1/2 (∠ABC+∠ACB)=90°-1/2 ∠A

∴∠BGC=180°-1/2 (∠ABC+∠ACB)

=180°-(90°-1/2∠A)

=90°+1/2∠A

12.简析:由四边形内角和为360°，知道∠ABC与∠ADC互补。

那么它们的半角就互余。即∠EBC+∠FDC=90°

△DFC中，∠BFD=90°+∠FDC

∴∠EBC+∠BFD

=∠EBC+∠FDC+90°=180°

故BE∥DF。

最后以一个较复杂问题结束今天的讨论。

例:如图，

证明:

在△CFM中，

∠ACB=∠M+∠CFM

即∠M=∠ACB-∠CFM

∵∠1=∠2

∠1+∠AEP=∠2+∠AFP=90°

∴∠AEP=∠AFP

∴∠CFM=∠AFP=∠AEP

在△BEM中，

∠AEP=∠B+∠M

∴∠M=∠ACB-∠CFM=∠ACB-∠AEP

=∠ACB-(∠B+∠M)

∴2∠M=∠ACB-∠B

即∠M=1/2(∠ACB-∠B)。